समुच्चय (Sets) - नोट्स और मार्गदर्शन
1. समुच्चय की परिभाषा:
समुच्चय वस्तुओं का ऐसा समूह होता है, जिसे साफ-साफ पहचाना जा सके और जिनमें कोई भी वस्तु एक जैसी न हो। समुच्चय को अक्सर { }में लिखा जाता है।
**उदाहरण:**
A = {1, 2, 3}
B = {x : x एक प्राकृतिक संख्या है, x < 5}
यहां B = {1, 2, 3, 4} होगा।
### 2. **समुच्चय के प्रकार:**
| **प्रकार** | **विवरण** | **उदाहरण** |
|-----------------|------------------------------------------------------------------------|--------------------------------|
| **रिक्त समुच्चय (Empty Set)** | इसमें कोई तत्व नहीं होता। | Ø या {} |
| **एकतत्त्व समुच्चय (Singleton Set)** | इसमें केवल एक तत्व होता है। | A = {5} |
| **सीमित समुच्चय (Finite Set)** | इसमें तत्वों की संख्या निश्चित होती है। | A = {1, 2, 3, 4} |
| **असीम समुच्चय (Infinite Set)** | इसमें अनगिनत तत्व होते हैं। | N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} |
| **उपसमुच्चय (Subset)** | अगर A का हर तत्व B में होता है, तो A को B का उपसमुच्चय कहते हैं। | A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} |
| **सार्वभौमिक समुच्चय (Universal Set)** | वह समुच्चय जिसमें सभी समुच्चय शामिल होते हैं। | U = {1, 2, 3, ..., n} |
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### 3. **समुच्चय के निरूपण (Representation of Sets):**
- **सूची विधि (Roster Method):**
इसमें समुच्चय को सीधी सूची के रूप में लिखा जाता है।
**उदाहरण:** A = {2, 4, 6, 8}
- **समुच्चय निर्माता विधि (Set-builder Method):**
इसमें समुच्चय को एक शर्त के द्वारा लिखा जाता है।
**उदाहरण:** B = {x : x एक सम संख्या है और x ≤ 10}
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### 4. **समुच्चयों के संचालन (Operations on Sets):**
| **क्रिया** | **चिन्ह** | **अर्थ** | **उदाहरण** |
|-----------------|-----------|-----------------------------------------------|---------------------------------------|
| **संघ (Union)** | A ∪ B | A और B में से कोई भी तत्व हो, तो उसे शामिल करें। | A = {1, 2}, B = {2, 3} → A ∪ B = {1, 2, 3} |
| **छेदन (Intersection)** | A ∩ B | A और B दोनों में जो समान तत्व हों, उन्हें शामिल करें। | A = {1, 2}, B = {2, 3} → A ∩ B = {2} |
| **अंतर (Difference)** | A – B | A में वे तत्व जो B में नहीं हैं। | A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} → A – B = {1} |
| **पूरक (Complement)** | A′ | सार्वभौमिक समुच्चय में से A के बाहर के तत्व। | U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2} → A′ = {3, 4, 5} |
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### 5. **De Morgan के नियम (De Morgan's Laws):**
De Morgan के दो महत्वपूर्ण नियम हैं, जो समुच्चय के संचालन को समझने में मदद करते हैं:
1. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
2. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
ये नियम समुच्चयों के पूरक निकालने में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए:
- अगर A = {1, 2}, B = {2, 3}, और U = {1, 2, 3, 4}, तो A ∪ B = {1, 2, 3} और (A ∪ B)′ = {4}
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## 📘 **महत्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल:**
### ❓ **प्रश्न 1:**
कक्षा में 30 छात्र हैं। 18 छात्र गणित पढ़ते हैं, 12 छात्र विज्ञान पढ़ते हैं, और 8 छात्र दोनों पढ़ते हैं। कितने छात्र केवल गणित पढ़ते हैं?
**हल:**
यह सवाल समुच्चयों के अंतर (Difference) पर आधारित है।
- गणित पढ़ने वाले = 18
- विज्ञान पढ़ने वाले = 12
- दोनों पढ़ने वाले = 8
**केवल गणित पढ़ने वाले:**
गणित और विज्ञान दोनों पढ़ने वाले छात्र = 8
=> केवल गणित पढ़ने वाले = 18 - 8 = **10 छात्र**
**उत्तर:** 10 छात्र केवल गणित पढ़ते हैं।
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### ❓ **प्रश्न 2:**
सार्वभौमिक समुच्चय U = {1, 2, 3, 4, 5} और A = {1, 2, 3} दिया गया है। A का पूरक (Complement) क्या होगा?
**हल:**
सार्वभौमिक समुच्चय U = {1, 2, 3, 4, 5} और A = {1, 2, 3} है।
A′ = U – A = {4, 5}
**उत्तर:** A का पूरक A′ = {4, 5} होगा।
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### ❓ **प्रश्न 3:**
यदि A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} और C = {5, 6, 7} हैं, तो (A ∪ B) ∩ C का मान क्या होगा?
**हल:**
पहले A ∪ B निकालते हैं:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
अब (A ∪ B) ∩ C निकालते हैं:
(A ∪ B) ∩ C = {3, 4, 5} ∩ {5, 6, 7} = {5}
**उत्तर:** (A ∪ B) ∩ C = {5}।
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### **नोट्स को समझने के सुझाव:**
1. **समुच्चय के प्रकार** और **निरूपण विधियों** को अच्छी तरह से समझें।
2. **क्रियाओं (Operations)** को ध्यान से सीखें और हर एक ऑपरेशन का उदाहरण हल करें।
3. **De Morgan के नियम** पर ध्यान दें और उनका अभ्यास करें।
4. **वेन आरेख** को समझने की कोशिश करें, क्योंकि यह समुच्चयों को दृश्य रूप से समझने में मदद करता है।
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आपको यदि इन प्रश्नों से अतिरिक्त सवाल चाहिए या किसी और टॉपिक पर सहायता चाहिए, तो बताइए! 😊