समुच्चयों का कार्तीय गुणन (Cartesian Product of Sets) – सम्पूर्ण गाइड
परिचय (Introduction)
जब दो समुच्चयों के सभी संभावित क्रमबद्ध युग्म (ordered pairs) बनाए जाते हैं, तो उस प्रक्रिया को कार्तीय गुणन (Cartesian Product) कहा जाता है।
इसका नाम प्रसिद्ध गणितज्ञ रेने देकार्त (René Descartes) के नाम पर रखा गया है।
परिभाषा:
यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो A और B का कार्तीय गुणन, जिसे A × B के रूप में लिखा जाता है, क्रमित युग्मों का एक ऐसा समुच्चय है जिसमें पहला तत्व A से और दूसरा तत्व B से लिया गया है.
उदाहरण (Example)
मान लीजिए A = {1, 2} और B = {a, b} हैं, तो A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)} होगा.
🔢 कार्तीय गुणन में कुल युग्मों की संख्या
यदि A में (m) तत्त्व हैं और B में (n) तत्त्व हैं,
तो (A*B) में कुल (m,n) ordered pairs होंगे।
उदाहरण के लिए,
अगर A = {1, 2, 3} (3 तत्त्व)
और B = {a, b} (2 तत्त्व)
तो A × B में कुल (3 × 2 = 6) ordered pairs होंगे।
📘विशेष बातें (Key Points):
1. Ordered pair का अर्थ: (a, b) और (b, a) अलग-अलग होते हैं।
यानी क्रम (Order) मायने रखता है।
2. A × B ≠ B × A, जब तक A = B और समुच्चय बराबर न हों।
3. यदि A = ∅ (रिक्त समुच्चय) या B = ∅, तो
A*B = ∅
4. अगर A = B, तब A × A को A का स्वगुणन (self-product) कहते हैं।
❓महत्वपूर्ण प्रश्न (Important Questions):
🔹 Q1. यदि A = {1, 2} और B = {3, 4}, तो A × B और B × A क्या होंगे?
उत्तर:
A × B = { (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) }
B × A = { (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) }
🔹 Q2. यदि A × B में 12 तत्त्व हैं और A में 3 तत्त्व हैं, तो B में कितने तत्त्व होंगे?
उत्तर:
मान लें B में n तत्त्व हैं।
तो \(A × B = 3 × n = 12\),
⇒ n = 4
इसलिए B में 4 तत्त्व होंगे।
✅ परीक्षा टिप्स (Exam Tips):
- हमेशा ordered pairs में तत्वों का क्रम ध्यान से लिखें।
- यदि रिक्त समुच्चय है, तो गुणन भी रिक्त होगा।
- कुल युग्मों की संख्या निकालने का तरीका याद रखें:
Total pairs= A× B
अगर आप चाहें तो मैं इससे जुड़ेMCQs, प्रैक्टिस सेट या ग्राफिकल समझ भी दे सकता हूँ।
बताइए, अगला स्टेप क्या होना चाहिए? 😄📘