कक्षा 11 गणितः संबंध एवं फलन-पूर्ण गाइड और नोट्स (हिंदी में)
1. समुच्चय का कार्तीय गुणनफल (Cartesian Product of Sets)
परिभाषाः दो समुच्चय A और B का कार्तीय गुणनफल, A × B, सभी क्रमित युग्मों (a, b) का समुच्चय है जहाँ A और BEBI
उदाहरणः यदि A = \{1, 2\} B = \{3, 4\} तो AB = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\} * 1
सूत्रः यदि A में m अवयव और B में अवयव हों, तो A B में m x n अवयव होंगे।
2. संबंध (Relations)
परिभाषाः समुच्चय A से B में एक संबंध, A B का कोई उपसमुच्चय है।
प्रकार:
1. खाली संबंधः कोई युग्म नहीं ()।
2. सार्वभौमिक संबंध. सभी युग्म शामिल (AxB)1
3. तुल्यता संबंध (Equivalence Relation):
स्वतुल्प (Reflexive): प्रत्येक a ∈ A के लिए (a, a) ERI
सममित (Symmetric): यदि (a, b) ∈ R, तो (b, a) ∈ RI
संक्रामक (Transitive): यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तो (a, c) ∈ RI
उदाहरण. समान शेषफल देना" (mod 5) एक तुल्यता संबंध है।
3. फलन (Functions)
परिभाषाः एक फलन f. A B, A से B में एक विशेष संबंध है जहाँ प्रत्येक a ∈ A का एक अद्वितीय प्रतिबिम्ब b ∈ B में होता है।
प्रांत (Domain): समुच्चय AI
सहप्रांत (Codomain): समुच्चय B।
परिसर (Range): f द्वारा लिए गए वास्तविक मानों का समुच्चय।
फलन के प्रकार:
1. एकेक फलन (Injective): प्रत्येक b ∈ B के लिए अधिकतम एक a ∈ A, ताकि f(a) = bi
उदाहरण: f(x) = 2x + 31
2. आच्छादक फलन (Surjective): परिसर सहप्रांत।
उदाहरण f. RR, f(x) = x²
3. द्विआचारी फलन (Bijective): एकेक और आच्छादक दोनों।
उदाहरण: f(x) = x (रेखीय फलन)।
4. संयुक्त फलन (Composition of Functions)
यदि f. A B और g: BC, तो gof: AC को gof(x) = g(f(x)) द्वारा परिभाषित किया जाता है।
उदाहरण: यदि और तो gof(x) = 2x + 11 f(x) = 2x g(x) = x + 1
गुणः संयोजन साहचर्य (Associative) होता है।
5. प्रतिलोम फलन (Inverse Function)
एक फलन f: A B प्रतिलोमीय है यदि यह द्विआचारी (bijective) है।
प्रतिलोम फलन f: B A, जहाँ f(b) = a यदि f(a) = bl
उदाहरण. f(x) = 2x + 3 का प्रतिलोम f ^ - 1 * (x) = (x - 3) / 21
6. महत्वपूर्ण सूत्र और गुण
1. संबंधों की संख्या: A से B में 2<sup>mn</sup> संबंध (m और क्रमश: A और B के अवयवों की संख्या)।
2. फलनों की संख्या: A से B में n<sup>m</sup> फलन।
3. एकैक फलनों की संख्या: यदि msn, तो n! / (n-m)!!
7. उदाहरण समस्याएँ
1. प्रश्नः सिद्ध कीजिए कि R = {(a, b) | a + b सम है) एक तुल्यता संबंध है।
हलः स्वतुल्य (a + a = 2a*pi*H) , सममित (a + b समba सम), संक्रामक (यदि a + b और b + c सम, तो a c सम)।
2. प्रश्न: f: RR, f(x) = x ^ 2 द्वारा परिभाषित फलन एकैक या आच्छादक है?
हलः न तो एकेक और न ही आच्छादक (ऋणात्मक मान परिसर में नहीं)। (t(2) = t(- 2))
8. याद रखने योग्य बिंदु
प्रत्येक फलन एक संबंध है, लेकिन प्रत्येक संबंधच फलन नहीं।
तुल्यता संबंध समुच्चय को असंयुक्त तुल्यता वर्गों में विभाजित करता है।
प्रतिलोम फलन केवल द्विआचारी फलनों के लिए मौजूद होता है।